La estadística y el collar de Fifí

"Si tengo 8 diamantes de 24 quilates y uno de ellos pesa menos que el resto, y tengo una balanza romana con la que sólo puedo hacer 2 pesadas... ¿cómo averiguo cuál es el que pesa menos para ponérselo en el collar a Fifí?".

Esta pregunta se la hace una mujer rica en un famoso anuncio de la radio. Bien, muchos pensarán que es un acertijo muy difícil de resolver, pero quizá no lo es tanto. Primero hallaremos la respuesta partiendo de problemas más pequeños, y después intentaremos establecer una regla para problemas más grandes aún, intentando minimizar el número de pesadas para el mayor número de diamantes posible.

Nota: Si los diamantes son todos de 24 quilates, deberían pesar igual, ya que un quilate es una medida de peso, pero supondremos que eso sea posible, y una balanza romana sería una balanza de 3 brazos, aquí supondremos que es de 2, como la de la fotografía.



Veamos los pasos.

1- Definir el problema general: Tenemos un conjunto de "n" diamantes, donde todos los diamantes pesan igual excepto 1. Tenemos que averiguar cuál es el que pesa menos, con una balanza que puede hacer sólo 2 pesadas.

2- Definir el procedimiento a utilizar para resolverlo: Intentaremos averiguar poco a poco el resultado partiendo de casos más pequeños hasta llegar al máximo posible de diamantes con ese número de pesadas.

3- Instrumento a utilizar: Balanza de 2 brazos iguales (brazo I y brazo D).

4- Comenzamos con los casos:

a) 2 diamantes (1 y 2):  1 PESADA: Diamante 1 en brazo I y Diamante 2 en brazo D.  Si pesa más el brazo I, Solución: Diamante 2. Si pesa más el brazo D, Solución: Diamante 1.

b) 3 diamantes (1, 2, 3): 1 PESADA: Diamante 1 en brazo I y Diamante 2 en brazo D. Si pesa más uno de los brazos, Solución: la del caso A. Si ambos brazos pesan igual: Solución: Diamante 3.

Vemos que siempre que tenemos 2 ó 3 diamantes podemos hacer sólo una pesada, por lo que a partir de ahora si podemos dividir casos con más diamantes en grupos de 2 ó 3, podremos estar seguros de que luego quedará sólo una pesada.

c) 4 diamantes (1, 2, 3, 4): 1 PESADA: Diamantes 1 y 2 en brazo I y Diamantes 3 y 4 en brazo D. 2 PESADA. Volvemos a pesar como en el caso A los diamantes del brazo que pesaba menos. Solución: caso A

d) 5 diamantes (1, 2, 3, 4, 5): 1 PESADA: Diamantes 1 y 2 en brazo I y Diamantes 3 y 4 en brazo D. Si pesa más uno de los brazos, 2 PESADA, y solución: caso A. Si pesan iguales, Solución: Diamante 5.

e) 6 diamantes (1,2,3,4,5,6): 1 PESADA: Diamantes 1,2 en brazo I y Diamantes 3,4 en brazo D. 2 PESADA. Si pesa más uno de los brazos, 2 PESADA y solución: caso A. S pesan iguales, Solución: caso A.

f) 7 diamantes (1,2,3,4,5,6,7): 1 PESADA: Diamantes 1,2,3 en brazo I y Diamantes 4,5,6 en brazo D. Si pesa más uno de los brazos, 2 PESADA, y solución: caso B. Si pesan iguales, Solución: Diamante 7.

A estas alturas podemos ver que se van repitiendo prácticamente los procesos, por lo que podríamos inferir seguro una fórmula, pero sigamos y terminemos el problema. Tengamos en cuenta también que como mucho puede haber 3 diamantes en un brazo, porque a partir de 4 diamantes podríamos necesitar 2 pesadas...

g) 8 diamantes (1,2,3,4,5,6,7,8): 1 PESADA:  Diamantes 1,2,3 en brazo I y Diamantes 4,5,6, en brazo D. Si pesa más uno de los brazos, 2 PESADA y solución: caso B. Si pesan iguales. El menor es el Diamante 7 ó el 8, y por tanto 2 PESADA y solución: caso A.

h) 9 diamantes (1,2,3,4,5,6,7,8,9): 1 PESADA:  Diamantes 1,2,3 en brazo I y Diamantes 4,5,6, en brazo D. Si pesa más uno de los brazos, 2 PESADA y solución: caso B. Si pesan iguales. El menor esta entre los Diamantes 7, 8 y 9, y por tanto 2 PESADA y solución: caso B.

Lógicamente no podríamos seguir para 10 diamantes, porque la división en grupos de 3 lo menores posibles sería 3, 3 y 4, y como tras la primera pesada tuviéramos que pesar en la segunda los 4 diamantes, estaríamos en el caso C, que como vemos podría necesitar 2 pesadas más...

Bien, encontrado el resultado del anuncio-acertijo de la ONCE, intentemos inferir de forma burda o por "la cuenta la vieja" una regla que nos sirva para averiguar el mínimo número de pesadas para cierto número de diamantes. Lo primero es tener en cuenta que siempre que pesemos, en la balanza debe haber un número par de diamantes.

5- A ver, hagamos una tabla rápida:

1 diamante - 0 pesadas - 1 grupo (1)
2 diamantes - 1 pesada - 2 grupo (1-1)
3 diamantes - 1 pesada - 3 grupos (1-1-1)
4 diamantes - 2 pesadas - 3 grupos (2-2-0)
5 diamantes - 2 pesadas - 3 grupos (2-2-1)
6 diamantes - 2 pesadas - 3 grupos (2-2-2)
7 diamantes - 2 pesadas - 3 grupos (3-3-1)
8 diamantes - 2 pesadas - 2 grupos (3-3-2)
9 diamantes - 2 pesadas - 2 grupos (3-3-3)
10 diamantes - 3 pesadas - (4-4-2)
11 diamantes - 3 pesadas - (4-4-3)
12 diamantes - 3 pesadas - (4-4-4)
13 diamantes - 3 pesadas - (5-5-3)
14 diamantes - 3 pesadas - (5-5-4)
15 diamantes - 3 pesadas - (5-5-5)
16 diamantes - 3 pesadas - (6-6-4)
17 diamantes - 3 pesadas - (6-6-5)
18 diamantes - 3 pesadas - (6-6-6)
19 diamantes - 3 pesadas - (7-7-5)
20 diamantes - 3 pesadas - (7-7-6)
21 diamantes - 3 pesadas - (7-7-7)
22 diamantes - 3 pesadas - (8-8-6)
23 diamantes - 3 pesadas - (8-8-7)
24 diamantes - 3 pesadas - (8-8-8)
25 diamantes - 3 pesadas - (9-9-7)
26 diamantes - 3 pesadas - (9-9-8)
27 diamantes - 3 pesadas - (9-9-9)
28 diamantes - 4 pesadas - (10-10-8) 
29 diamantes - 4 pesadas - (10-10-9)
30 diamantes - 4 pesadas - (10-10-10)  


6- Total, que por la tabla siempre vemos que:

-Si nos fijamos en las pesadas, hay una regla:

Si vemos que 1 pesada máximo 3 diamantes. 2 pesadas máximo 9 diamantes. 3 pesadas máximo 27 diamantes. Podemos inferir esta norma:

"N pesadas servirán para un máximo de 3 elevado a N diamantes".

Ejemplo: 4 pesadas máximo 3 elevado a 4 diamantes =  81 diamantes.
Prueba: 8 pesadas máximo 3 elevado a 8 diamantes =  6561 diamantes


-Si nos fijamos en los diamantes, hay otra regla:

Si vemos que para más de 27 diamantes como mínimo hacen falta 4 pesadas, para más de 9 diamantes 3 pesadas y para más de 3 diamantes 2 pesadas. Podemos inferir otra norma:

"Para más de 3 elevado a N diamantes necesitamos como mínimo N+1 pesadas"

Ejemplo: Más de 27 diamantes, que son 3 elevado a 3, necesitaremos 3+1 =  4 pesadas.
Prueba: Más de 6561 diamantes, que son 3 elevado a 8, necesitaremos 8+1 = 9 pesadas.

Entonces, vemos que para averiguar las pesadas necesarias para un número de diamantes, basta con ir dividiendo el número de diamantes entre 3 hasta que tengamos 3 o menos diamantes, y eso nos dará el número de pesadas, más la pesada de esos 3 o menos diamantes finales.

Ejemplo: Para 113 diamantes, necesitaremos

(1) 113 / 3 = 37
(2) 37 / 3 = 12
(3) 12 / 3 = 4
(4) 4 / 3 = 1
(5) 1

Total: 5 pesadas como máximo para 113 diamantes.



En fin, que no está de más saber hacer un poquito de matemáticas de vez en cuando, os lo recomiendo para hacer pensar a la cabeza oxidada que todos tenemos, y aunque sea a "la cuenta de la vieja" ir sacando cosas que en principio nos parecen imposibles. Esta regla ya existía antes de que yo la sacara y seguramente mejor explicada e inferida, pero ha sido sólo una demostración de que si nos ponemos, cualquiera puede jugar con los números, que para eso son un gran regalo de reyes que todos tenemos sin pedirlo, lo mismo que el lenguaje.